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因為計畫的關係，需要找出果蠅腦神經元 (neuron) 之間的可能路徑。找出路徑，可以方便了解在果蠅腦內訊息的傳遞。
前置工作有很多，包含前處理，資料庫建立，這資料庫是先把三維腦神經影像裡的空間資料做整理而產生的（是另一個同事的辛苦成果），再由資料庫一筆一筆Query，建立出一個 connection matrix。這 connection matrix 就相當於是一個 weight 的 Matrix, 如果 i, j 這兩點有相連，m(i, j) = 1；不然就等於一個很大的數，代表沒有直接連結。
我的想法是直接找出 APSP，接下來用查表的就可以找出路徑。算出APSP最簡單的方式，應該是 Floyd Warshall 方法吧。
procedure FloydWarshall ()
for k := 1 to n
for i := 1 to n
for j := 1 to n
path[i][j] = min ( path[i][j], path[i][k] path[k][j] );
根據 Pawan Harish 和 P.J. Narayanan 在2007年發表的 paper, “Accelerating large graph algorithms on the GPU using CUDA” 裡所提到的演算法：
 圖1
實際用 CUDA 來寫，程式碼如下：
1: void FW_APSP()
2: {
3: int *dev_matrix;
4: size_t msize = matrix_dim*matrix_dim*sizeof(int);
5:
6: cudaMalloc((void**)&dev_matrix, msize);
7: cudaMalloc((void**)&dev_pre_matrix, msize) ;
8:
9: /* apsp_matrix is pre-loaded */
10: cudaMemcpy(dev_matrix, apsp_matrix, msize, cudaMemcpyHostToDevice);
11: cudaMemcpy(dev_pre_matrix, pre_matrix, msize, cudaMemcpyHostToDevice);
12: dim3 block((matrix_dim threadNum-1)/threadNum, (matrix_dim threadNum-1)/threadNum);
13: dim3 threads(threadNum, threadNum);
14:
15: for(int k=0; k<matrix_dim; k )
16: {
17: APSP_kernel<<<block, threads>>>(k, matrix_dim, dev_matrix, dev_pre_matrix);
18: }
19:
20: cudaMemcpy(apsp_matrix, dev_matrix, msize, cudaMemcpyDeviceToHost);
21: cudaMemcpy(pre_matrix, dev_pre_matrix, msize, cudaMemcpyDeviceToHost);
22:
23: cudaFree(dev_matrix);
24: }
Kernel 的地方也很容易：
1: __global__ void APSP_kernel(int k, int matrix_dim, int *dev_matrix, int *dev_pre_matrix)
2: {
3: int ioffset, koffset;
4: int Dij, Dik, Dkj;
5:
6: int i = blockIdx.x*blockDim.x threadIdx.x;
7: int j = blockIdx.y*blockDim.y threadIdx.y;
8:
9: if(i<matrix_dim && j<matrix_dim)
10: {
11: koffset = k*matrix_dim;
12: ioffset = i*matrix_dim;
13: Dij = dev_matrix[ioffset j];
14: Dik = dev_matrix[ioffset k];
15: Dkj = dev_matrix[koffset j];
16: if(Dik Dkj<Dij)
17: {
18: dev_matrix[ioffset j] = Dik Dkj;
19: dev_pre_matrix[ioffset j] = k;
20: }
21: }
22: }
我去網路上找了一組 test data：rome99.txt（原始說明，請見此網頁）。這筆資料有 3353 個 nodes，以及 8870 個 edges。用上面的程式來跑，一點問題也沒有。改成用我實際的神經元資料，有 12529 個 neuron，所以相當於是一個 12529x12529 大小的 matrix。一跑，程式馬上就跳出來，檢查後才發現是在 cudaMalloc 那裡就死了。因為要顯卡上 malloc 一塊 12529x12529x4 bytes 的記憶體，我的顯卡是 GeForce 9800 GX2，才只有 512 MB 的記憶體。當然沒法執行。
上網搜尋相關文件，發現 2008 年有一篇論文，G. J. Katz 和 J. T. Kider Jr 所的 "All-Pairs Shortest-Paths for Large Graphs on the GPU” 裡，提到一種方法，以 block 的方式，來計算 APSP 的問題。這篇文章裡的方法是來自 G. Venkaaraman，Sartaj Sahni，和 S. Mukhopadhyaya 在2003 年的 paper："A Blocked All-Pairs Shortest Paths Algorithm”，2003 年的 paper，原本是要善用電腦的 cache 來加速。2008 年的作者就改成用 CUDA 來計算，效果不錯；最重要的，是可以一次只載入一部份，所以就算原始資料超過記憶體大小，還是可以把原始資料切成小 block 來做運算。下圖是此演算法的示意圖：
圖2
先把整個 Matrix 切成比較小的 block。然後每一個在對角線的 block，都有三個步驟 (phases)。圖2 上面的二個圖，就是三個 phase 的示意圖。圖2上左，是第一個 phase，先計算對角線那個 block（稱為 primary block）。接下來第二個 phase(圖2上中)，是計算在和 primary block 同樣 column 和 row 的 blocks。第三個 phase，就是計算其餘的 blocks。把對角線的的 primary blocks 都重覆以上三步驟，就可以計算出 APSP matrix。三個 phases 的分別解說如下：
第一個 phase，只是一般的 APSP，可以直接用 FW 方法來做。
第二個 phase，需要用到第一個 phase 算出來的結果：
 圖3
第三個 phase，需要用到第二個 phase 所計算出來的 blocks：
 圖4
如圖5，白色粗線框起來的地方，是 Phase 3 要計算的一個 block，它需要那兩個黑線粗框的 block 裡的資料才能計算出結果。
 圖5
Blocked_APSP_GPU 程式碼如下：
1: void Blocked_APSP_GPU()
2: {
3: int pStart, pEnd; // primary block
4:
5: int block_size;
6: clock_t startTime, endTime;
7: double elapsedTime;
8:
9: NUM_PBLOCK = (g_MATRIX_DIM g_BLOCK_DIM-1)/g_BLOCK_DIM;
10:
11: RowBlocks = new int [g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM];
12: HANDLE_ERROR(cudaMalloc((void**)&dev_lineBlocks, g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM*sizeof(int)));
13: HANDLE_ERROR(cudaMalloc((void**)&dev_columnBlocks, g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM*sizeof(int)));
14:
15: startTime = clock();
16: t1=wallclock();
17:
18: for(int pb =0; pb <NUM_PBLOCK; pb ) // primary block
19: {
20: pStart = pb*g_BLOCK_DIM;
21: pEnd = pStart g_BLOCK_DIM-1;
22: if(pEnd>=g_MATRIX_DIM)
23: {
24: pEnd = g_MATRIX_DIM-1;
25: }
26:
27: PhaseI(pStart, pEnd);
28: PhaseII_GPU(pb, pStart, pEnd);
29: PhaseIII_GPU(pb, pStart, pEnd);
30: }
31: endTime = clock();
32: t2 = wallclock();
33:
34: HANDLE_ERROR(cudaFree(dev_lineBlocks));
35: HANDLE_ERROR(cudaFree(dev_columnBlocks));
36:
37: elapsedTime = (double(endTime-startTime)/CLOCKS_PER_SEC);
38: printf("Blocked APSP: %lf seconds", elapsedTime);
39: printf("time: %.3lf", t2-t1);
40:
41: }
因為顯示卡記憶體有限，所以原始 matrix 先切成小的 blocks。在 PhaseII 裡，每次在顯卡上，我先載入並計算位於和 primary block 相同 column 的blocks，再載入和計算位於和 primary block 相同 row 的 blocks。在上面列表 Line 12、Line 13 裡的 g_MATRIX_DIM 就是指整個 matrix 的 dimension (以本例來說，是12529)。g_BLOCK_DIM 是自訂的參數，以本例來說，我是設 32。
Phase II
在Phase II 裡，顯卡上宣告的 memory 大小為 32x12529x4 bytes。當程式在載入和 primary block 相同 column (或 row) 的 blocks 時，連 primary block 也會被載入(下面程式碼 line 12)，所以可以算出結果，沒有問題。在 PhaseII 裡資料是被放在 dev_columnBlocks 這個空間。Line 18 – Line 21 是計算和 primary block 相同 column 的 blocks； Line 30-35 是計算和 primary block 相同 row 的 blocks。Line 27 是一個函式，先把整個 row 的 blocks 複製到一塊連續記憶體 (RowBlocks)，Line 28 再從 RowBlocks 複製到顯示卡記憶體裡。
1: void PhaseII_GPU(int bid, int pStart, int pEnd)
2: {
3: int cStart, cEnd; // current block
4: int dim_i;
5: int Dij, Dik, Dkj;
6: int ioffset;
7:
8:
9: int pdim = pEnd-pStart 1;
10:
11: // copy blocks of column bid to to device
12: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, &(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]),
13: sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
14:
15: dim3 block(NUM_PBLOCK); //(i, *) and (*, j)
16: dim3 threads(g_BLOCK_DIM);
17:
18: for(int k=0; k<pdim; k )
19: {
20: PhaseII_Column_kernel<<<block, threads>>>(k, bid, pStart, pEnd, g_MATRIX_DIM, dev_columnBlocks);
21: }
22:
23: // copy values from device memory back to matrix
24: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(&(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]), dev_columnBlocks,
25: sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
26:
27: CopyToRowBlocks(pStart, pEnd);
28: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, RowBlocks,
29: sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
30: for(int k=0; k<pdim; k )
31: {
32: PhaseII_Row_kernel<<<block, threads>>>(k, bid, pStart, pEnd, g_MATRIX_DIM,
33: dev_columnBlocks);
34: }
35: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(RowBlocks, dev_columnBlocks,
36: sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
37: CopyFromRowBlocks(pStart, pEnd);
38:
39:
40: }
Phase III
但在 PhaseIII 裡，需要兩個 input block 才能算出一個 output block。我就在 Phase III 一開始時，先把和 primary block 相同 column 的 blocks 先載入 dev_lineBlocks (下表 line 10 ，line 11)；然後再其他blocks，一次 copy 一整個 column 的 blocks 到 dev_columnBlocks，計算結果，再複製回來(下圖 line 16- line 38)。
1: void PhaseIII_GPU(int pbid, int pStart, int pEnd)
2: {
3:
4: int iStart;
5: int iEnd;
6: int pdim = pEnd-pStart 1;
7: int idim;
8:
9: // copy blocks of column pbid to dev_lineBlocks
10: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_lineBlocks, &(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]),
11: sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
12:
13: dim3 block(NUM_PBLOCK);
14: dim3 threads(g_BLOCK_DIM);
15:
16: for(int I=0; I<NUM_PBLOCK; I )
17: {
18: if(I==pbid) continue;
19:
20: /*
21: copy blocks of Column I to dev_columnBlocks
22: */
23: iStart = g_BLOCK_DIM*I;
24: iEnd = iStart g_BLOCK_DIM-1;
25: if(iEnd>=g_MATRIX_DIM) iEnd = g_MATRIX_DIM - 1;
26:
27: idim = iEnd-iStart 1;
28: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, &(apsp_matrix[iStart*g_MATRIX_DIM]),
29: sizeof(int) * idim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
30: // envoke kernel (pbid, j), 0<=j<NUM_PBLOCK, j!=bid)
31: for(int k=0; k<pdim; k )
32: PhaseIII_kernel<<<NUM_PBLOCK, threads>>>(pbid, k, iStart, iEnd, pStart, pEnd,
33: g_MATRIX_DIM, dev_lineBlocks, dev_columnBlocks);
34:
35: // copy the values in dev_columnBlocks back to matrix
36: HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(&(apsp_matrix[iStart*g_MATRIX_DIM]), dev_columnBlocks,
37: sizeof(int) * idim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
38: }
39: }
結果：
後來我有申請 GPU Cluster 帳號，並在上面做測試。GPU Cluster 的每台機器，都是裝 4G 的 Tesla T10 卡，一次可以把整個 12529x12529 的 matrix 載入也沒問題。
rome99.txt:
Sequential FW 61.699 seconds
FW_GPU 60.607 seconds
block_APSP_GPU 11.875 seconds
Neuron connection table:
Sequential FW ~3100 seconds
FW_GPU 3452.3 seconds
block_APSP_GPU 500.1 seconds
以GPU 來計算 block_APSP，時間只要約1/6。成效很顯著。
後記：
這程式麻煩的地方之一，是在於 matrix 的 dimension 無法剛好是 block dimension 的倍數。解決最後一個 primary block 的問題，讓我腦筋迷糊了好一會。Kernel 的程式碼，我附上其中之一，其餘的也類似。
1: /**
2: * a. copy blocks (I, *) to dev_columnBlocks
3: *
4: * b. dev_lineBlocks:
5: * ------
6: * |I, *|
7: * ------
8: * |I, *|
9: * ------
10: * |I, *|
11: * ------
12: * |I, *|
13: * ....
14: */
15: __global__ void PhaseII_Column_kernel(int k, int bid, int pStart, int pEnd, int matrix_dim, int *dev_Blocks)
16: {
17: int cStart, cEnd; // current block start, current block end
18: int pdim, dim, i, j;
19: int ioffset, koffset;
20: int Dij, Dik, Dkj;
21:
22:
23: if(blockIdx.x==bid) return;
24:
25: pdim = pEnd-pStart 1;
26:
27: cStart = blockDim.x*blockIdx.x;
28: cEnd = cStart blockDim.x-1;
29: if(cEnd>=matrix_dim)
30: {
31: cEnd = matrix_dim-1;
32: }
33: dim = cEnd-cStart 1;
34:
35: j = cStart threadIdx.x;
36: koffset = k*matrix_dim;
37:
38: if(j<matrix_dim)
39: {
40: //j = threadIdx.x;
41: for(i=0; i<pdim; i )
42: {
43: ioffset = i*matrix_dim;
44: Dij = dev_Blocks[ioffset j];
45: Dik = dev_Blocks[ioffset pStart k];
46: Dkj = dev_Blocks[koffset j];
47: if(Dik Dkj<Dij)
48: {
49: dev_Blocks[ioffset j] = Dik Dkj;
50: }
51: }
52: __syncthreads();
53: }
54: }
55:
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