用 CUDA 來解 All Pair Shortest Path (APSP) 問題

因為計畫的關係，需要找出果蠅腦神經元 (neuron) 之間的可能路徑。找出路徑，可以方便了解在果蠅腦內訊息的傳遞。

前置工作有很多，包含前處理，資料庫建立，這資料庫是先把三維腦神經影像裡的空間資料做整理而產生的（是另一個同事的辛苦成果），再由資料庫一筆一筆Query，建立出一個 connection matrix。這 connection matrix 就相當於是一個 weight 的 Matrix, 如果 i, j 這兩點有相連，m(i, j) = 1；不然就等於一個很大的數，代表沒有直接連結。

我的想法是直接找出 APSP，接下來用查表的就可以找出路徑。算出APSP最簡單的方式，應該是 Floyd Warshall 方法吧。

procedure FloydWarshall ()
for k := 1 to n
for i := 1 to n
for j := 1 to n
path[i][j] = min ( path[i][j], path[i][k] path[k][j] );

根據 Pawan Harish 和 P.J. Narayanan 在2007年發表的 paper, “Accelerating large graph algorithms on the GPU using CUDA” 裡所提到的演算法：

圖1

實際用 CUDA 來寫，程式碼如下：

  1: void FW_APSP()
  2: {
  3: 	int *dev_matrix;
  4: 	size_t msize = matrix_dim*matrix_dim*sizeof(int);
  5: 
  6: 	cudaMalloc((void**)&dev_matrix, msize);
  7: 	cudaMalloc((void**)&dev_pre_matrix, msize) ;
  8: 
  9: 	/* apsp_matrix is pre-loaded */
 10: 	cudaMemcpy(dev_matrix, apsp_matrix, msize, cudaMemcpyHostToDevice);
 11: 	cudaMemcpy(dev_pre_matrix, pre_matrix, msize, cudaMemcpyHostToDevice);
 12: 	dim3 block((matrix_dim threadNum-1)/threadNum, (matrix_dim threadNum-1)/threadNum);
 13: 	dim3 threads(threadNum, threadNum);
 14: 	
 15: 	for(int k=0; k<matrix_dim; k  )
 16: 	{
 17: 		APSP_kernel<<<block, threads>>>(k, matrix_dim, dev_matrix, dev_pre_matrix);
 18: 	}
 19: 
 20: 	cudaMemcpy(apsp_matrix, dev_matrix, msize, cudaMemcpyDeviceToHost);
 21: 	cudaMemcpy(pre_matrix, dev_pre_matrix, msize, cudaMemcpyDeviceToHost);
 22: 
 23: 	cudaFree(dev_matrix);
 24: }
Kernel 的地方也很容易：
  1: __global__ void APSP_kernel(int k, int matrix_dim, int *dev_matrix, int *dev_pre_matrix)
  2: {
  3: 	int ioffset, koffset;
  4: 	int Dij, Dik, Dkj;
  5: 	
  6: 	int i = blockIdx.x*blockDim.x threadIdx.x;
  7: 	int j = blockIdx.y*blockDim.y threadIdx.y;
  8: 
  9: 	if(i<matrix_dim && j<matrix_dim)
 10: 	{
 11: 		koffset = k*matrix_dim;
 12: 		ioffset = i*matrix_dim;
 13: 		Dij = dev_matrix[ioffset j];
 14: 		Dik = dev_matrix[ioffset k];
 15: 		Dkj = dev_matrix[koffset j];
 16: 		if(Dik Dkj<Dij)
 17: 		{
 18: 			dev_matrix[ioffset j] = Dik Dkj;
 19: 			dev_pre_matrix[ioffset j] = k;
 20: 		}
 21: 	}
 22: }
我去網路上找了一組 test data：rome99.txt（原始說明，請見此網頁）。這筆資料有 3353 個 nodes，以及 8870 個 edges。用上面的程式來跑，一點問題也沒有。改成用我實際的神經元資料，有 12529 個 neuron，所以相當於是一個 12529×12529 大小的 matrix。一跑，程式馬上就跳出來，檢查後才發現是在 cudaMalloc 那裡就死了。因為要顯卡上 malloc 一塊 12529x12529x4 bytes 的記憶體，我的顯卡是 GeForce 9800 GX2，才只有 512 MB 的記憶體。當然沒法執行。
上網搜尋相關文件，發現 2008 年有一篇論文，G. J. Katz 和 J. T. Kider Jr 所的 "All-Pairs Shortest-Paths for Large Graphs on the GPU” 裡，提到一種方法，以 block 的方式，來計算 APSP 的問題。這篇文章裡的方法是來自 G. Venkaaraman，Sartaj Sahni，和 S. Mukhopadhyaya 在2003 年的 paper："A Blocked All-Pairs Shortest Paths Algorithm”，2003 年的 paper，原本是要善用電腦的 cache 來加速。2008 年的作者就改成用 CUDA 來計算，效果不錯；最重要的，是可以一次只載入一部份，所以就算原始資料超過記憶體大小，還是可以把原始資料切成小 block 來做運算。下圖是此演算法的示意圖：

 圖2
先把整個 Matrix 切成比較小的 block。然後每一個在對角線的 block，都有三個步驟 (phases)。圖2 上面的二個圖，就是三個 phase 的示意圖。圖2上左，是第一個 phase，先計算對角線那個 block（稱為 primary block）。接下來第二個 phase(圖2上中)，是計算在和 primary block 同樣 column 和 row 的 blocks。第三個 phase，就是計算其餘的 blocks。把對角線的的 primary blocks 都重覆以上三步驟，就可以計算出 APSP matrix。三個 phases 的分別解說如下：
第一個 phase，只是一般的 APSP，可以直接用 FW 方法來做。
第二個 phase，需要用到第一個 phase 算出來的結果：
 圖3
第三個 phase，需要用到第二個 phase 所計算出來的 blocks：
 圖4
如圖5，白色粗線框起來的地方，是 Phase 3 要計算的一個 block，它需要那兩個黑線粗框的 block 裡的資料才能計算出結果。
 圖5

Blocked_APSP_GPU 程式碼如下：
  1: void Blocked_APSP_GPU()
  2: {
  3: 	int pStart, pEnd;	// primary block
  4: 	
  5: 	int block_size;
  6: 	clock_t startTime, endTime;
  7: 	double elapsedTime;
  8: 
  9: 	NUM_PBLOCK = (g_MATRIX_DIM g_BLOCK_DIM-1)/g_BLOCK_DIM;
 10: 
 11: 	RowBlocks = new int [g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM]; 
 12: 	HANDLE_ERROR(cudaMalloc((void**)&dev_lineBlocks, g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM*sizeof(int)));
 13: 	HANDLE_ERROR(cudaMalloc((void**)&dev_columnBlocks, g_BLOCK_DIM*g_MATRIX_DIM*sizeof(int)));
 14: 
 15: 	startTime = clock();
 16: 	t1=wallclock();
 17: 
 18: 	for(int pb =0; pb <NUM_PBLOCK; pb   )		// primary block
 19: 	{
 20: 		pStart = pb*g_BLOCK_DIM; 
 21: 		pEnd = pStart g_BLOCK_DIM-1;
 22: 		if(pEnd>=g_MATRIX_DIM)
 23: 		{
 24: 			pEnd = g_MATRIX_DIM-1;
 25: 		}
 26: 		
 27: 		PhaseI(pStart, pEnd);
 28: 		PhaseII_GPU(pb, pStart, pEnd);
 29: 		PhaseIII_GPU(pb, pStart, pEnd);
 30: 	}
 31: 	endTime = clock();
 32: 	t2 = wallclock();
 33: 
 34: 	HANDLE_ERROR(cudaFree(dev_lineBlocks));
 35: 	HANDLE_ERROR(cudaFree(dev_columnBlocks));
 36: 
 37: 	elapsedTime = (double(endTime-startTime)/CLOCKS_PER_SEC);
 38: 	printf("Blocked APSP: %lf seconds", elapsedTime);
 39: 	printf("time: %.3lf", t2-t1);
 40: 	
 41: }
因為顯示卡記憶體有限，所以原始 matrix 先切成小的 blocks。在 PhaseII 裡，每次在顯卡上，我先載入並計算位於和 primary block 相同 column 的blocks，再載入和計算位於和 primary block 相同 row 的 blocks。在上面列表 Line 12、Line 13 裡的 g_MATRIX_DIM 就是指整個 matrix 的 dimension (以本例來說，是12529)。g_BLOCK_DIM 是自訂的參數，以本例來說，我是設 32。
Phase II 
在Phase II 裡，顯卡上宣告的 memory 大小為 32x12529x4 bytes。當程式在載入和 primary block 相同 column (或 row) 的 blocks 時，連 primary block 也會被載入(下面程式碼 line 12)，所以可以算出結果，沒有問題。在 PhaseII 裡資料是被放在 dev_columnBlocks 這個空間。Line 18 – Line 21 是計算和 primary block 相同 column 的 blocks； Line 30-35 是計算和 primary block 相同 row 的 blocks。Line 27 是一個函式，先把整個 row 的 blocks 複製到一塊連續記憶體 (RowBlocks)，Line 28 再從 RowBlocks 複製到顯示卡記憶體裡。
  1: void PhaseII_GPU(int bid, int pStart, int pEnd)
  2: {
  3: 	int cStart, cEnd;	// current block
  4: 	int dim_i;
  5: 	int Dij, Dik, Dkj;
  6: 	int ioffset;
  7: 
  8: 
  9: 	int pdim = pEnd-pStart 1;
 10: 
 11: 	// copy blocks of column bid to to device
 12: 	HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, &(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]),  
 13: 					sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
 14: 
 15: 	dim3 block(NUM_PBLOCK);   //(i, *) and (*, j)
 16: 	dim3 threads(g_BLOCK_DIM);
 17: 
 18: 	for(int k=0; k<pdim; k  )		
 19: 	{
 20: 		PhaseII_Column_kernel<<<block, threads>>>(k, bid, pStart, pEnd, g_MATRIX_DIM, dev_columnBlocks);	
 21: 	}
 22: 
 23: 	// copy values from device memory back to matrix
 24: 	HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(&(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]), dev_columnBlocks, 
 25: 			sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
 26: 
 27: 	CopyToRowBlocks(pStart, pEnd);
 28: 	HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, RowBlocks,  
 29: 					sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
 30: 	for(int k=0; k<pdim; k  )		
 31: 	{
 32: 		PhaseII_Row_kernel<<<block, threads>>>(k, bid, pStart, pEnd, g_MATRIX_DIM, 
 33: 													dev_columnBlocks);	
 34: 	}
 35: 	HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(RowBlocks, dev_columnBlocks,  
 36: 					sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
 37: 	CopyFromRowBlocks(pStart, pEnd);
 38: 
 39: 
 40: }
Phase III
但在 PhaseIII 裡，需要兩個 input block 才能算出一個 output block。我就在 Phase III 一開始時，先把和 primary block 相同 column 的 blocks 先載入 dev_lineBlocks (下表 line 10 ，line 11)；然後再其他blocks，一次 copy 一整個  column 的 blocks 到 dev_columnBlocks，計算結果，再複製回來(下圖 line 16- line 38)。
  1: void PhaseIII_GPU(int pbid, int pStart, int pEnd)
  2: {
  3: 
  4: 	int iStart;
  5: 	int iEnd;
  6: 	int pdim = pEnd-pStart 1;
  7: 	int idim;
  8: 
  9: 	// copy blocks of column pbid to dev_lineBlocks
 10: 	HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_lineBlocks, &(apsp_matrix[pStart*g_MATRIX_DIM]),  
 11: 							sizeof(int) * pdim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
 12: 
 13: 	dim3 block(NUM_PBLOCK);   
 14: 	dim3 threads(g_BLOCK_DIM);
 15: 
 16: 	for(int I=0; I<NUM_PBLOCK; I  )
 17: 	{
 18: 		if(I==pbid) continue;
 19: 
 20: 		/* 
 21: 		    copy blocks of Column I to dev_columnBlocks 
 22: 		*/
 23: 		iStart = g_BLOCK_DIM*I;
 24: 		iEnd = iStart g_BLOCK_DIM-1; 	
 25: 		if(iEnd>=g_MATRIX_DIM) iEnd = g_MATRIX_DIM - 1;
 26: 
 27: 		idim = iEnd-iStart 1;
 28: 		HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(dev_columnBlocks, &(apsp_matrix[iStart*g_MATRIX_DIM]),  
 29: 							sizeof(int) * idim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyHostToDevice));
 30: 		// envoke  kernel (pbid, j),  0<=j<NUM_PBLOCK, j!=bid)
 31: 		for(int k=0; k<pdim; k  )
 32: 			PhaseIII_kernel<<<NUM_PBLOCK, threads>>>(pbid, k, iStart, iEnd, pStart, pEnd,
 33: 									g_MATRIX_DIM, dev_lineBlocks, dev_columnBlocks);
 34: 		
 35: 		// copy the values in dev_columnBlocks back to matrix
 36: 		HANDLE_ERROR(cudaMemcpy(&(apsp_matrix[iStart*g_MATRIX_DIM]), dev_columnBlocks, 
 37: 			sizeof(int) * idim * g_MATRIX_DIM, cudaMemcpyDeviceToHost));
 38: 	}
 39: }
結果：
後來我有申請 GPU Cluster 帳號，並在上面做測試。GPU Cluster 的每台機器，都是裝 4G 的 Tesla T10 卡，一次可以把整個 12529×12529 的 matrix 載入也沒問題。
rome99.txt:

Sequential FW         61.699 seconds

FW_GPU                 60.607 seconds

block_APSP_GPU   11.875 seconds

Neuron connection table:

Sequential FW          ~3100 seconds

FW_GPU                  3452.3 seconds

block_APSP_GPU    500.1 seconds

以GPU 來計算 block_APSP，時間只要約1/6。成效很顯著。
後記：
這程式麻煩的地方之一，是在於 matrix 的 dimension 無法剛好是 block dimension 的倍數。解決最後一個 primary block 的問題，讓我腦筋迷糊了好一會。Kernel 的程式碼，我附上其中之一，其餘的也類似。
  1: /**
  2:  *	a. copy blocks (I, *) to dev_columnBlocks
  3:  *
  4:  *  b. dev_lineBlocks:
  5:  *     ------
  6:  *     |I, *|
  7:  *     ------
  8:  *     |I, *|
  9:  *     ------
 10:  *     |I, *|
 11:  *     ------
 12:  *     |I, *|
 13:  *		....
 14:  */
 15: __global__ void PhaseII_Column_kernel(int k, int bid, int pStart, int pEnd, int matrix_dim, int *dev_Blocks)
 16: {
 17: 	int cStart, cEnd;		// current block start, current block end
 18: 	int pdim, dim, i, j;
 19: 	int ioffset, koffset;
 20: 	int Dij, Dik, Dkj;
 21: 
 22: 
 23: 	if(blockIdx.x==bid) return;
 24: 
 25: 	pdim = pEnd-pStart 1;
 26: 
 27: 	cStart = blockDim.x*blockIdx.x;
 28: 	cEnd = cStart blockDim.x-1;
 29: 	if(cEnd>=matrix_dim)
 30: 	{
 31: 		cEnd = matrix_dim-1;
 32: 	}
 33: 	dim = cEnd-cStart  1;
 34: 
 35: 	j = cStart threadIdx.x;
 36: 	koffset = k*matrix_dim;
 37: 
 38: 	if(j<matrix_dim)
 39: 	{
 40: 		//j = threadIdx.x;
 41: 		for(i=0; i<pdim; i  )
 42: 		{
 43: 			ioffset = i*matrix_dim; 
 44: 			Dij = dev_Blocks[ioffset j]; 
 45: 			Dik = dev_Blocks[ioffset pStart k];
 46: 			Dkj = dev_Blocks[koffset j];
 47: 			if(Dik Dkj<Dij)
 48: 			{
 49: 				dev_Blocks[ioffset j] = Dik Dkj;
 50: 			}
 51: 		}
 52: 		__syncthreads();
 53: 	}
 54: }
 55: 

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